ધારો કે કોઈ બિંદુ P(x, y) પર વક્રની સ્પર્શકની | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy^2 + y}{x} = y^2 + \frac{y}{x}$ છે.પદોને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = y^2$ મળે.$y^2$ વડે ભાગતા,$y^{-

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{18}{19}$

Vedclass · Answer

(C) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy^2 + y}{x} = y^2 + \frac{y}{x}$ છે.પદોને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = y^2$ મળે.$y^2$ વડે ભાગતા,$y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y^{-1} = 1$ મળે.ધારો કે $v = y^{-1}$,તો $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$.આને સમીકરણમાં મૂકતા,$-\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = 1$,અથવા $\frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = -1$ મળે.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ છે.ઉકેલ $v \cdot x = \int (-1) \cdot x dx + C = -\frac{x^2}{2} + C$ છે.$v = \frac{1}{y}$ હોવાથી,$\frac{x}{y} = -\frac{x^2}{2} + C$ મળે.વક્ર રેખા $x + 2y = 4$ ને $x = -2$ પર છેદે છે,તેથી $y$ શોધવા માટે $x = -2$ મૂકતા: $-2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.વક્ર $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{-2}{3} = -\frac{(-2)^2}{2} + C \Rightarrow -\frac{2}{3} = -2 + C \Rightarrow C = \frac{4}{3}$.આમ,$\frac{x}{y} = -\frac{x^2}{2} + \frac{4}{3}$ છે.બિંદુ $(3, y)$ માટે,$\frac{3}{y} = -\frac{3^2}{2} + \frac{4}{3} = -\frac{9}{2} + \frac{4}{3} = -\frac{19}{6}$ મળે.તેથી,$y = -\frac{18}{19}$.

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx}-y=x^{2}\cot x, x\in(0,\pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}$ હોય, તો $6y(\frac{\pi}{6})-8y(\frac{\pi}{4})$ ની કિંમત શોધો:

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{3} = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f(x)=x-1$ અને $g(x)=e^x$ જ્યાં $x \in R$. જો $\frac{d y}{d x}=\left(e^{-2 \sqrt{x}} g(f(f(x)))-\frac{y}{\sqrt{x}}\right)$ અને $y(0)=0$ હોય,તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ એક સતત વિધેય છે જે $f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$ નું સમાધાન કરે છે. તો, $f(\log_{e} 5)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x + y) \frac{dy}{dx} = 1$ નો વ્યાપક ઉકેલ છે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module